La física de las ganancias marginales

Definiciones y derivaciones detrás del modelo CdA / CWPS / CWPP / CWPM / Caps.

0. El ciclista BASE — contra qué se mide cada cifra de "ahorro"

Cada cifra de ahorro en esta app es un delta respecto a un atleta de referencia con equipamiento de serie, no aerodinámico. Cada artículo almacena una primitiva física — los artículos de bici llevan una reducción del área de arrastre ΔCdA (m²), una reducción de la resistencia a la rodadura ΔCrr o un ahorro constante de transmisión ΔWatts; los de natación y carrera llevan una ganancia fraccional de velocidad Δtime%. CWPS, CWPP y CWPM se derivan todos aguas abajo de esas primitivas.

La configuración de equipamiento de referencia

Bici: bici de carretera de serie, cuadro de tubos redondos, sin acoples aero. CdA ≈ 0,32 m² en una posición relajada sobre las manetas.
Cubiertas y cámaras: cubiertas de entrenamiento de serie (clincher) + cámaras de butilo. C_rr ≈ 0,005 cada una.
Transmisión: cadena engrasada de fábrica, roldanas de serie, rodamientos de eje de pedalier de acero sellados (~6 W de pérdida a 250 W).
Casco y ropa: casco de carretera estándar, maillot de club + culotte (sin mono aero).
Natación: jammer / bañador de competición estándar, sin neopreno ni swimskin.
Carrera: zapatilla de entrenamiento neutra de perfil medio (~250 g, sin placa de carbono).

El atleta de referencia

El modelo usa dos puntos de potencia de referencia, calibrados de forma independiente:

Referencia de duración de carrera (150 W): fija T_base mediante $ T_{\text{base}} = 6.33 \times (150/P)^{1/3} \times (D/180) $. Un ciclista de 150 W cubre 180 km en 6,33 h (≈ 28,4 km/h de media), el punto de referencia de facto del amateur de resistencia.
Referencia de escalado de mejoras (225 W): el punto donde el impulso aero empírico κ vale 1,0. Un ciclista de 300 W con un artículo direct-aero obtiene $ (300/225)^{0.15} \approx 1.045\times $ ese impulso — alrededor de un 4,5% más.
Referencia de natación (1,05 m/s ≈ 1:35/100m): κ = 1,0; los nadadores más rápidos escalan como $ (v/1.05)^{0.4} $.
Referencia de carrera (3,33 m/s ≈ 5:00/km): κ = 1,0; los corredores más rápidos escalan como $ (v/3.33)^{0.25} $.

Parámetros de referencia

Todas las constantes viven en un solo sitio (REF en math.js) y varias se derivan unas de otras:

$ \rho = 1.204\ \text{kg/m}^3 $ (aire), $ g = 9.81\ \text{m/s}^2 $, masa del sistema $ m = 80\ \text{kg} $.
$ p_{\text{ref}} = 225\ \text{W} $ (ancla empírica de κ), $ p_{\text{base}} = 150\ \text{W} $ (ancla de T_base), $ CdA_{\text{base}} = 0.32 $, $ C_{\text{rr,base}} = 0.005 $, $ \mathcal{L}_{\text{dt}} = 6\ \text{W} $.
Derivado: $ v_{\text{ref}} $ resuelve el balance de potencia completo $ P = \tfrac12\rho\,CdA\,v^3 + C_{\text{rr}} m g v + \mathcal{L}_{\text{dt}} $ a $ p_{\text{ref}} $ — $ \approx 9.79\ \text{m/s} \approx 35.2\ \text{km/h} $ (resolución numérica de Newton, no la inversión de solo arrastre).
Velocidades de referencia de natación/carrera: $ v_{\text{swim,ref}} = 1.05\ \text{m/s} $, $ v_{\text{run,ref}} = 3.33\ \text{m/s} $.

225 W es una convención empírica, no una constante física — es una potencia típica de triatleta serio de grupos de edad, bien por encima del ancla T_base de 150 W. Y $ v_{\text{ref}} $ es solo un valor por defecto: las cifras CWPS/CWPM en vivo resuelven tu propia velocidad de equilibrio y evalúan ahí los vatios ahorrados de cada régimen — un punto de operación autoconsistente, sin referencia fija ni mezcla de dos velocidades.

Cómo se construye una cifra de "tiempo ahorrado"

Resuelve el balance de potencia para tu velocidad de equilibrio en llano $ v^* $ a tu potencia $ P $ (numérico).
Bici: calcula los vatios ahorrados a $ v^* $ — $ \Delta P = \tfrac12\rho {v^*}^3\,\Delta CdA $ (aero), $ \Delta Crr\, m g v^* $ (rodadura) o un $ \Delta W $ constante (transmisión) — y conviértelos con el multiplicador sensible a componentes de la misma resolución, $ \Delta M_{\text{hr}} = 60\,\Delta P / (3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}) $ ($ \approx 23\,\Delta P/P $ a 225 W). Natación/carrera: $ \Delta M_{\text{hr}} = 60 \times \Delta\text{time\%} $.
Multiplica por el impulso empírico de la curva κ(profile) (solo aero/reynolds/swim/run).
Multiplica por la duración base del segmento: $ \Delta t = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa \times T_{\text{base}} $.

Rebase del equipamiento en propiedad

Marcar equipamiento de bici como en propiedad vuelve a valorar todo lo demás a dos niveles:

Punto de operación. El equipamiento aero que posees baja tu $CdA$, las cubiertas/cámaras que posees bajan $C_{\text{rr}}$, las piezas de transmisión que posees bajan $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $. El balance de potencia completo se resuelve de nuevo para una nueva velocidad de equilibrio $v^*$, y cada mejora de bici restante — agrupada o no — recalcula a esa velocidad sus vatios ahorrados y su CWPS/CWPM. Los ciclistas rápidos que ya poseen material aero ven que los artículos aero restantes convierten algo mejor y los de transmisión algo peor.
Grupos mutuamente excluyentes. El equipamiento que viene por niveles — cuadros de contrarreloj, tipos de cámara, neoprenos de competición — forma un grupo. Si posees uno, sus compañeros de grupo además se rebasan a los minutos por hora marginales sobre lo que ya posees (evaluados al mismo $v^*$), no a la diferencia completa respecto al material de serie. Marcar un nuevo miembro del grupo como en propiedad sustituye al anterior.

Qué significa esto en la práctica: el interruptor "Marcar como en propiedad" hace que el catálogo restante muestre lo que cada mejora vale para ti, con el material que ya usas — tu verdadera configuración actual — en lugar de frente al ciclista BASE desnudo. CWPS forma parte de esto: ya no es una base fija, sino que se mueve con tu equipamiento en propiedad.

1. Perfil de velocidad base (la curva cúbica)

La duración de la carrera sigue una curva normalizada de decaimiento de resistencia no lineal:

\[ T_{\text{base}} = 6.33 \times \left(\frac{150}{P_{\text{athlete}}}\right)^{\frac{1}{3}} \times \left(\frac{D_{\text{target}}}{180}\right) \]

$P_{\text{athlete}}$ — potencia objetivo sostenida en bici (vatios).
$D_{\text{target}}$ — distancia objetivo de la carrera (km).

Tu estado: a 225W sobre 180km, tu parcial base es ≈ 5.53 h.

2. CdA — coeficiente de arrastre aerodinámico

El CdA combina el coeficiente de arrastre $C_d$ (forma / separación de la superficie) y el área frontal $A$ (m$^2$). Un CdA más bajo significa que hacen falta menos vatios para mantener una velocidad dada.

Fuerza de arrastre

\[ F_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^2 \, CdA \]

Potencia necesaria para vencer la resistencia del aire

\[ P_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^3 \, CdA \]

$\rho$ — densidad del aire (≈ $1.204\ \text{kg/m}^3$ a nivel del mar, 20°C).
$v$ — velocidad relativa al viento ($\text{m/s}$).

Conclusión: doblar la velocidad requiere ~8× la potencia, a menos que reduzcas el CdA.

Despejando tu CdA

Reordenando la cúbica para el escenario de solo arrastre:

\[ CdA \approx \frac{2 \, P}{\rho \, v^3} \]

Tu estado: a 225W con una media de ≈ 32.6 km/h sobre 180km, tu CdA implícito ≈ 0.506 m² (aproximación dominada por el arrastre).

3. CWPS — coste por vatio ahorrado

CWPS es la métrica de clasificación de bici: dólares por vatio de arrastre eliminado. Como los vatios ahorrados dependen de la velocidad, se evalúan a tu velocidad de equilibrio en llano $v^*$ — la velocidad que tu potencia produce contra el presupuesto de resistencia completo (aero + rodadura + transmisión), resuelta numéricamente — no una referencia fija ni una idealización de solo arrastre.

\[ \text{CWPS} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\tfrac{1}{2}\,\rho\, {v^*}^3\, \Delta CdA} \]

Para artículos de rodadura $ \Delta P = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* $; para artículos de transmisión los vatios son constantes. CWPS solo existe para material de bici — natación y carrera no llevan vatios propulsivos medibles.

Tu estado: a 225W tu velocidad de equilibrio es ≈ 35.2 km/h, así que cada 0,01 m² de CdA que elimines vale ≈ 5.6 W. Un cuadro de $400 que ahorrase eso costaría ≈ $71/W.

4. CWPP — coste por punto porcentual de ganancia de velocidad

CWPP es el hermano de natación/carrera de CWPS. Los fabricantes anuncian el material de natación y carrera como ganancias fraccionales de velocidad o eficiencia, no en vatios — no hay potencia propulsiva medible para un neopreno o una zapatilla — así que la métrica de clasificación independiente de la carrera son dólares por punto porcentual de ganancia de velocidad.

\[ \text{CWPP} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\Delta\text{time\%} \times 100} \qquad [\$/\%] \]

Cómo leerlo — cuanto más bajo, mejor

Neopreno: $500 al 4% → CWPP = $125/%
Swimskin: $250 al 1,5% → CWPP = $166.67/%
Zapatilla de competición con placa de carbono: $280 al 2,5% → CWPP = $112/%

CWPS ($/W) y CWPP ($/%) viven en unidades distintas y no son directamente comparables entre disciplinas. Ambos alimentan el CWPM (minutos ahorrados en una carrera dada), que sí es comparable entre natación, bici y carrera.

5. CWPM — coste por minuto ahorrado

CWPM es la métrica más accionable y la ordenación por defecto del panel: dólares por minuto recortado de tu parcial de carrera. Depende del perfil y de la distancia.

Paso 1 — minutos ahorrados por hora en tu punto de operación

\[ \Delta M_{\text{hr}} = \frac{60\,\Delta P}{3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}}\ \text{(bike)} \quad\text{or}\quad 60 \times \Delta\text{time\%}\ \text{(swim/run)} \]

El denominador de bici es $ dP/dv \cdot v^* = 3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}} $ del mismo balance de potencia — convierte los vatios ahorrados en la fracción de tiempo del segmento que desaparece. En el ancla de 225 W resulta $ \approx 23\,\Delta P / P $, sustituyendo la vieja constante de solo arrastre de 20.

Tu estado: a 225W tu multiplicador efectivo es ≈ 23.3 · ΔP/P min/h.

Paso 2 — tiempo total ahorrado en el segmento

\[ M_{\text{saved}} = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa(\text{profile}) \times T_{\text{base}} \]

Direct aero: impulso empírico $\kappa = (P/225)^{0.15}$.
Reynolds (ruedas de perfil, cascos, monos aero): $\kappa = (P/225)^{0.35}$.
Rodadura / transmisión: sin $\kappa$ — el escalado con la potencia ya vive en $\Delta P$ (ver §7).

Paso 3 — la fórmula CWPM

\[ \text{CWPM} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{M_{\text{saved}}\ (\text{min})} \]

6. Caps — balance de potencia y ganancias marginales decrecientes

Un "Cap" es el techo de la optimización aero práctica: la anatomía humana necesita una huella estructural mínima para producir potencia, así que el CdA no puede caer indefinidamente sin colapsar el ángulo de cadera.

Equilibrio del balance de potencia

\[ P_{\text{total}} = P_{\text{aero}} + P_{\text{rolling}} + P_{\text{gravity}} + P_{\text{drivetrain}} \]

\[ P_{\text{total}} = \left(\tfrac{1}{2} \rho v^3 \, CdA\right) + \left(C_{\text{rr}} \, m \, g \, v\right) + \left(m \, g \, v \, \sin\theta\right) + \mathcal{L}_{\text{dt}} \]

$C_{\text{rr}}$ — coeficiente de resistencia a la rodadura.
$m$ — masa total del sistema (ciclista + bici, kg).
$g$ — aceleración gravitatoria ($9.81\ \text{m/s}^2$).
$\sin\theta$ — pendiente de la carretera.
$\mathcal{L}_{\text{dt}}$ — pérdida de potencia de la transmisión.

A medida que inviertes en material más caro, los retornos siguen una curva de decaimiento asintótica. Un ajuste biomecánico lleva el CdA de ~0,320 → ~0,240 por $300; un cockpit ultra-premium quizá solo llegue de 0,222 → 0,220 por $2,500. El cap infla las tres métricas de coste — CWPS, CWPP y CWPM — cerca del techo: es una propiedad de toda la pila de coste-eficiencia, no de una métrica concreta.

7. Tres regímenes de resistencia

La resistencia en bici se divide en tres regímenes físicamente distintos. El viejo marco "lineal vs Reynolds" agrupaba rodadura y transmisión — pero escalan con la velocidad de forma diferente, así que un ciclista más fuerte obtiene una parte distinta del beneficio de cada uno.

Métrica	Aero (Reynolds)	Rodadura	Transmisión (estática)
Escalado de fuerza	$F \propto v^2$	$F \approx$ constante	$F \propto v^{-1}$
Escalado de potencia	$P \propto v^3$	$P \propto v^1$	$P \approx$ constante
Vatios ahorrados por la mejora	Escala con $v^3$	Escala con $v$	Constante
Beneficio en tiempo vs potencia	≈ plano ($P^{0}$)	$P^{-2/3}$	$P^{-1}$
Exponente κ	+0.15 / +0.35 (empírico)	ninguno — lo aporta la física	ninguno — lo aporta la física
Mejoras de ejemplo	Cascos, ruedas, posición	Cubiertas, cámaras	Cera de cadena, rodamientos

Por qué la rodadura es ≈ $P^{-2/3}$ y la transmisión ≈ $P^{-1}$

Como los vatios ahorrados se calculan a la velocidad de equilibrio del ciclista $v^*$, el escalado con la potencia de cada régimen emerge de la física — sin exponentes ajustados a mano. En el límite dominado por el arrastre $v^* \propto P^{1/3}$ y el multiplicador $ 60/(3P_{\text{aero}}+P_{\text{roll}}) \to 20/P $, así que:

\[ \text{Rolling:}\quad \Delta P_{\text{roll}} = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* \propto P^{1/3} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-2/3} \]

\[ \text{Drivetrain:}\quad \Delta P_{\text{dt}} = \text{const} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-1} \]

La resolución completa conserva los términos $ C_{\text{rr}} $ y $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $, así que estos exponentes son aproximados — las curvas reales se desvían unos pocos puntos porcentuales de las potencias limpias de arriba, en la dirección que dicta la física y no una constante ajustada.

Esto encaja con la intuición conocida: la cera de cadena importa más a los ciclistas menos potentes, porque un ahorro de 4 W es una fracción mayor de su potencia total. El aero es el caso opuesto — sus vatios ahorrados crecen con $v^3$, cancelando aproximadamente el $1/P$ de la identidad para dejar un beneficio plano en potencia, sobre el cual los impulsos empíricos +0.15 / +0.35 premian las pequeñas ganancias de segundo orden (cambios de posición, sensibilidad al Reynolds) que desbloquean los ciclistas más rápidos.

8. Pacing del recorrido — el modelo estacionario y el optimizador

El simulador de pacing planifica un recorrido de bici real, segmento a segmento, y optimiza el tiempo total de carrera en lugar del parcial de bici. Se apoya en el mismo balance de potencia que el resto de esta página, evaluado localmente en cada ~50 m de la ruta.

Estado estacionario por segmento

Para cada segmento con pendiente $\theta = \arctan(\text{grade})$, potencia y velocidad satisfacen:

\[ \eta\,P = m g\,(C_{\text{rr}}\cos\theta + \sin\theta)\,v + \tfrac12 \rho\, CdA\, v^3 \]

Dada tu potencia, la cúbica se resuelve para $v$ (método de Newton); invertida, da la potencia para mantener una velocidad objetivo. Sumar $d_i / v_i$ sobre todos los segmentos da el tiempo del sector. Es el modelo clásico de potencia del ciclismo de carretera (Martin et al. 1998).

Por qué gana el pacing variable

A potencia media fija, el tiempo se minimiza gastando vatios donde compran más velocidad — subidas y viento de cara — y aflojando donde compran menos — bajadas y viento de cola (Swain 1997). Formalmente minimizamos el tiempo total a potencia media ponderada por tiempo fija mediante un multiplicador de Lagrange $\mu$; cada segmento elige de forma independiente la potencia que minimiza un coste por segmento, cacheado por pendiente:

\[ \min_{P_i \in [P_{\text{floor}},\, P_{\text{ceil}}]} \sum_i \frac{d_i}{v_i(P_i,\theta_i)} \quad\text{s.t.}\quad \overline{P} = \text{const} \;\Longrightarrow\; \min_{P}\ \frac{1 + \mu P}{v(P,\theta)} \]

Conclusión: poner el multiplicador sobre la energía ($1+\mu P$) mantiene el objetivo unimodal, así que una búsqueda ternaria estable encuentra la potencia óptima de cada segmento. El panel "potencia variable vs constante" del simulador es exactamente este ahorro — lo que compra un pacing inteligente a igual esfuerzo.

9. Métricas de potencia — NP, IF, VI

El planificador informa de las tres métricas estándar del potenciómetro (Allen & Coggan 2019):

\[ \text{NP} = \left( \overline{ \big(\overline{P}_{30\text{s}}\big)^{4} } \right)^{1/4} \qquad \text{IF} = \frac{\text{NP}}{\text{FTP}} \qquad \text{VI} = \frac{\text{NP}}{\overline{P}} \]

NP (Normalized Power) — la media a la cuarta potencia de la potencia media móvil de 30 s. Pondera los arreones, aproximando el coste fisiológico de una salida variable mejor que una media simple.
IF (Intensity Factor) — NP relativa a tu potencia de una hora. Los sectores de bici de Ironman viven en la banda 0,68–0,78; apretar más cambia minutos de bici por una carrera a pie más lenta.
VI (Variability Index) — cuán irregular es la salida. 1,00 es perfectamente constante; el planificador lo limita (≈1,05) para que la salida no destroce las piernas.

Tu estado: con FTP 310 W, una NP de Ironman a IF 0,72 sería ≈ 223 W.

10. Durabilidad — Critical Power y la reserva W′

Mantener una media no es toda la historia: los arreones repetidos por encima de un techo sostenible agotan una reserva anaeróbica finita, y una vez vacía te ves obligado a aflojar (o te rompes en la carrera a pie). El simulador modela esto con el marco de la potencia crítica (Monod & Scherrer 1965; Jones et al. 2010): una potencia sostenible $\text{CP}$ (tomamos $\text{CP} \approx 0.95\,\text{FTP}$) más una reserva de trabajo $W′$ (J) disponible por encima.

El modelo W′-balance

La reserva se agota por encima de CP y se reconstituye por debajo (Skiba et al. 2012):

\[ \frac{dW'\!_{\text{bal}}}{dt} = \begin{cases} -(P - \text{CP}) & P > \text{CP} \\[4pt] \big(W'\!_{\max} - W'\!_{\text{bal}}\big)\big(1 - e^{-\Delta t/\tau}\big) & P \le \text{CP} \end{cases} \]

con una constante de tiempo de recuperación $\tau \approx 300\,\text{s}$. Integrado sobre el plan, esto da la reserva más baja alcanzada (la estadística reserva W′). El planificador aplica luego un techo de durabilidad: cualquier arreón que llevaría $W′\!_{\text{bal}}$ por debajo de cero se recorta a lo máximo que la reserva restante puede financiar — pasarse con el objetivo aparece como una NP alcanzable por debajo de lo que pediste, no como un plan de fantasía.

Tu estado: Critical Power ≈ 295 W ($0.95 \times$ 310 W); depósito por defecto $W′$ = 20 kJ. Los arreones por encima de 295 W lo vacían; rodar suave lo rellena.

11. El objetivo — tiempo total de carrera

Como la bici es la preparación para el maratón, el planificador puntúa natación + bici + carrera + transiciones. Un tiempo de carrera a pie base (a partir de tu velocidad de carrera en llano) se degrada por cuatro factores de sobre-esfuerzo en bici, cada uno añadiendo un porcentaje al tiempo de maratón:

\[ t_{\text{run}} = t_{\text{run,base}} \times \big(1 + \min(0.6,\; p_{\text{IF}} + p_{\text{VI}} + p_{W'} + p_{\text{fuel}})\big) \]

Intensidad — convexa por encima de un codo sostenible: $p_{\text{IF}} = 9\,(\text{IF} - 0.72)^2$ para $\text{IF} > 0.72$.
Irregularidad — un coste suave para VI por encima de ≈1,08.
Durabilidad — hundirse a fondo en $W′$ (o reventarla) cuesta de forma progresiva.
Combustible — convexo en el déficit de glucógeno frente a un depósito utilizable de ~450 g.

Alimentación

El consumo de carbohidratos surge del trabajo mecánico y la intensidad (eficiencia bruta ≈ 0,24; fracción de carbohidratos creciente con el IF), contrapesado con tu ingesta horaria. El intestino absorbe aproximadamente 90 g/h de mezcla glucosa+fructosa (Jeukendrup 2014), así que un déficit sostenido anticipa un desfallecimiento al final de la carrera.

Estos coeficientes son anclas razonadas, no ajustadas a datos — la forma (convexa, con codo, acotada) es deliberada, pero cada salida es una estimación de planificación. Las citas completas están en la página del simulador de pacing.