La physique des gains marginaux

Définitions et dérivations derrière le modèle CdA / CWPS / CWPP / CWPM / Caps.

0. Le coureur BASE — la référence de chaque chiffre d'« économie »

Chaque économie affichée dans cette app est un delta par rapport à un athlète de référence équipé de matériel d'origine, non aérodynamique. Chaque article stocke une primitive physique — les articles vélo portent une réduction de surface de traînée ΔCdA (m²), une réduction de résistance au roulement ΔCrr ou une économie de transmission constante ΔWatts; les articles natation et course portent un gain de vitesse fractionnaire Δtime%. CWPS, CWPP et CWPM sont tous dérivés en aval de ces primitives.

La configuration matérielle de référence

Vélo : vélo de route d'origine, cadre à tubes ronds, sans prolongateurs aéro. CdA ≈ 0,32 m² en position détendue sur les cocottes.
Pneus & chambres : pneus d'entraînement d'origine (clinchers) + chambres en butyle. C_rr ≈ 0,005 chacun.
Transmission : chaîne graissée d'usine, galets de dérailleur d'origine, roulements de boîtier de pédalier acier étanches (~6 W de perte à 250 W).
Casque & tenue : casque route standard, maillot de club + cuissard (pas de combinaison aéro).
Natation : jammer / maillot de compétition standard, pas de combinaison néoprène ni de swimskin.
Course : chaussure d'entraînement neutre à semelle moyenne (~250 g, sans plaque carbone).

L'athlète de référence

Le modèle utilise deux points de puissance de référence, calibrés indépendamment :

Référence de durée de course (150 W) : fixe T_base via $ T_{\text{base}} = 6.33 \times (150/P)^{1/3} \times (D/180) $. Un coureur à 150 W couvre 180 km en 6,33 h (≈ 28,4 km/h de moyenne), le repère de facto de l'amateur d'endurance.
Référence d'échelle des upgrades (225 W) : le point où le bonus aéro empirique κ vaut 1,0. Un coureur à 300 W sur un article direct-aero obtient $ (300/225)^{0.15} \approx 1.045\times $ ce bonus — environ 4,5 % de plus.
Référence natation (1,05 m/s ≈ 1:35/100m) : κ = 1,0; les nageurs plus rapides suivent $ (v/1.05)^{0.4} $.
Référence course (3,33 m/s ≈ 5:00/km) : κ = 1,0; les coureurs plus rapides suivent $ (v/3.33)^{0.25} $.

Paramètres de référence

Toutes les constantes vivent au même endroit (REF dans math.js) et plusieurs se dérivent les unes des autres :

$ \rho = 1.204\ \text{kg/m}^3 $ (air), $ g = 9.81\ \text{m/s}^2 $, masse du système $ m = 80\ \text{kg} $.
$ p_{\text{ref}} = 225\ \text{W} $ (ancrage empirique de κ), $ p_{\text{base}} = 150\ \text{W} $ (ancrage de T_base), $ CdA_{\text{base}} = 0.32 $, $ C_{\text{rr,base}} = 0.005 $, $ \mathcal{L}_{\text{dt}} = 6\ \text{W} $.
Dérivé : $ v_{\text{ref}} $ résout le bilan de puissance complet $ P = \tfrac12\rho\,CdA\,v^3 + C_{\text{rr}} m g v + \mathcal{L}_{\text{dt}} $ à $ p_{\text{ref}} $ — $ \approx 9.79\ \text{m/s} \approx 35.2\ \text{km/h} $ (résolution numérique de Newton, pas l'inversion traînée seule).
Vitesses de référence natation/course : $ v_{\text{swim,ref}} = 1.05\ \text{m/s} $, $ v_{\text{run,ref}} = 3.33\ \text{m/s} $.

225 W est une convention empirique, pas une constante physique — c'est une puissance typique de triathlète groupe d'âge sérieux, nettement au-dessus de l'ancrage T_base à 150 W. Et $ v_{\text{ref}} $ n'est qu'un défaut : les chiffres CWPS/CWPM en direct résolvent votre propre vitesse d'équilibre et y évaluent les watts économisés de chaque régime — un point de fonctionnement auto-cohérent, sans référence fixe ni mélange de deux vitesses.

Comment se construit un chiffre de « temps gagné »

Résoudre le bilan de puissance pour votre vitesse d'équilibre sur le plat $ v^* $ à votre puissance $ P $ (numérique).
Vélo : calculer les watts économisés à $ v^* $ — $ \Delta P = \tfrac12\rho {v^*}^3\,\Delta CdA $ (aéro), $ \Delta Crr\, m g v^* $ (roulement) ou un $ \Delta W $ constant (transmission) — puis convertir avec le multiplicateur sensible aux composantes issu de la même résolution, $ \Delta M_{\text{hr}} = 60\,\Delta P / (3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}) $ ($ \approx 23\,\Delta P/P $ à 225 W). Natation/course : $ \Delta M_{\text{hr}} = 60 \times \Delta\text{time\%} $.
Multiplier par le bonus de courbe empirique κ(profile) (aero/reynolds/swim/run uniquement).
Multiplier par la durée de référence du segment : $ \Delta t = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa \times T_{\text{base}} $.

Rebasage du matériel possédé

Marquer du matériel vélo comme possédé réévalue tout le reste à deux niveaux :

Point de fonctionnement. Le matériel aéro possédé abaisse votre $CdA$, les pneus/chambres possédés abaissent $C_{\text{rr}}$, les pièces de transmission possédées abaissent $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $. Le bilan de puissance complet est résolu à nouveau pour une nouvelle vitesse d'équilibre $v^*$, et chaque upgrade vélo restant — groupé ou non — voit ses watts économisés et son CWPS/CWPM recalculés à cette vitesse. Les coureurs rapides qui possèdent déjà du matériel aéro voient les articles aéro restants convertir un peu mieux et les articles de transmission un peu moins bien.
Groupes mutuellement exclusifs. Le matériel qui existe par paliers — cadres de CLM, types de chambres, combinaisons de compétition — forme un groupe. Possédez-en un et ses camarades de groupe se rebasent en plus sur les minutes par heure marginales par rapport à ce que vous possédez (évaluées au même $v^*$), et non sur l'écart complet au matériel d'origine. Marquer un nouveau membre du groupe comme possédé remplace l'ancien.

Ce que cela signifie en pratique : le bouton « Marquer comme possédé » fait afficher au reste du catalogue ce que chaque upgrade vaut pour vous, sur le matériel que vous roulez déjà — votre vraie configuration actuelle — plutôt que face au coureur BASE nu. CWPS en fait partie : ce n'est plus une base fixe, il évolue avec votre équipement possédé.

1. Profil de vitesse de référence (la courbe cubique)

La durée de course suit une courbe de décroissance d'endurance non linéaire normalisée :

\[ T_{\text{base}} = 6.33 \times \left(\frac{150}{P_{\text{athlete}}}\right)^{\frac{1}{3}} \times \left(\frac{D_{\text{target}}}{180}\right) \]

$P_{\text{athlete}}$ — puissance vélo cible soutenue (watts).
$D_{\text{target}}$ — distance de course cible (km).

Votre statut : à 225W sur 180km, votre segment de référence vaut ≈ 5.53 h.

2. CdA — coefficient de traînée aérodynamique

Le CdA combine le coefficient de traînée $C_d$ (forme / décollement de surface) et la surface frontale $A$ (m$^2$). Un CdA plus bas signifie moins de watts nécessaires pour tenir une vitesse donnée.

Force de traînée

\[ F_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^2 \, CdA \]

Puissance requise pour vaincre la résistance de l'air

\[ P_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^3 \, CdA \]

$\rho$ — densité de l'air (≈ $1.204\ \text{kg/m}^3$ au niveau de la mer, 20°C).
$v$ — vitesse relative au vent ($\text{m/s}$).

À retenir : doubler la vitesse demande ~8× la puissance, sauf si vous réduisez le CdA.

Résoudre votre CdA

La cubique réarrangée pour le scénario tout-traînée :

\[ CdA \approx \frac{2 \, P}{\rho \, v^3} \]

Votre statut : à 225W avec une moyenne de ≈ 32.6 km/h sur 180km, votre CdA implicite ≈ 0.506 m² (approximation dominée par la traînée).

3. CWPS — coût par watt économisé

CWPS est la métrique de classement vélo : des dollars par watt de traînée supprimé. Comme les watts économisés dépendent de la vitesse, ils sont évalués à votre vitesse d'équilibre sur le plat $v^*$ — la vitesse que votre puissance produit contre le budget de résistance complet (aéro + roulement + transmission), résolue numériquement — pas une référence fixe ni une idéalisation traînée seule.

\[ \text{CWPS} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\tfrac{1}{2}\,\rho\, {v^*}^3\, \Delta CdA} \]

Pour les articles de roulement $ \Delta P = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* $; pour les articles de transmission les watts sont constants. CWPS n'existe que pour le matériel vélo — natation et course ne portent aucun watt propulsif mesurable.

Votre statut : à 225W votre vitesse d'équilibre est ≈ 35.2 km/h, donc chaque 0,01 m² de CdA supprimé vaut ≈ 5.6 W. Un cadre à $400 économisant autant coûterait ≈ $71/W.

4. CWPP — coût par point de pourcentage de gain de vitesse

CWPP est le pendant natation/course de CWPS. Les fabricants annoncent le matériel de natation et de course en gains fractionnaires de vitesse ou d'efficacité, pas en watts — il n'y a pas de puissance propulsive mesurable pour une combinaison ou une chaussure — donc la métrique de classement indépendante de la course est le dollar par point de pourcentage de gain de vitesse.

\[ \text{CWPP} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\Delta\text{time\%} \times 100} \qquad [\$/\%] \]

Comment le lire — plus bas est meilleur

Combinaison néoprène : $500 à 4% → CWPP = $125/%
Swimskin : $250 à 1,5% → CWPP = $166.67/%
Chaussure de course à plaque carbone : $280 à 2,5% → CWPP = $112/%

CWPS ($/W) et CWPP ($/%) vivent dans des unités différentes et ne sont pas directement comparables entre disciplines. Les deux alimentent CWPM (minutes gagnées sur une course donnée), qui est comparable entre natation, vélo et course.

5. CWPM — coût par minute gagnée

CWPM est la métrique la plus actionnable et le tri par défaut du tableau de bord : des dollars par minute retranchée de votre segment de course. Elle dépend du profil et de la distance.

Étape 1 — minutes gagnées par heure à votre point de fonctionnement

\[ \Delta M_{\text{hr}} = \frac{60\,\Delta P}{3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}}\ \text{(bike)} \quad\text{or}\quad 60 \times \Delta\text{time\%}\ \text{(swim/run)} \]

Le dénominateur vélo est $ dP/dv \cdot v^* = 3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}} $ issu du même bilan de puissance — il convertit les watts économisés en fraction de temps de segment supprimée. À l'ancrage de 225 W cela donne $ \approx 23\,\Delta P / P $, remplaçant l'ancienne constante traînée seule de 20.

Votre statut : à 225W votre multiplicateur effectif est ≈ 23.3 · ΔP/P min/h.

Étape 2 — temps total gagné sur le segment

\[ M_{\text{saved}} = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa(\text{profile}) \times T_{\text{base}} \]

Direct aero : bonus empirique $\kappa = (P/225)^{0.15}$.
Reynolds (roues hautes, casques, combinaisons aéro) : $\kappa = (P/225)^{0.35}$.
Roulement / transmission : pas de $\kappa$ — l'échelle en puissance vit déjà dans $\Delta P$ (voir §7).

Étape 3 — la formule CWPM

\[ \text{CWPM} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{M_{\text{saved}}\ (\text{min})} \]

6. Caps — bilan de puissance & gains marginaux décroissants

Un « Cap » est le plafond de l'optimisation aéro pratique : l'anatomie humaine a besoin d'une empreinte structurelle minimale pour produire de la puissance, donc le CdA ne peut pas chuter indéfiniment sans effondrer l'angle de hanche.

Équilibre du bilan de puissance

\[ P_{\text{total}} = P_{\text{aero}} + P_{\text{rolling}} + P_{\text{gravity}} + P_{\text{drivetrain}} \]

\[ P_{\text{total}} = \left(\tfrac{1}{2} \rho v^3 \, CdA\right) + \left(C_{\text{rr}} \, m \, g \, v\right) + \left(m \, g \, v \, \sin\theta\right) + \mathcal{L}_{\text{dt}} \]

$C_{\text{rr}}$ — coefficient de résistance au roulement.
$m$ — masse totale du système (coureur + vélo, kg).
$g$ — accélération gravitationnelle ($9.81\ \text{m/s}^2$).
$\sin\theta$ — pente de la route.
$\mathcal{L}_{\text{dt}}$ — perte de puissance de la transmission.

Plus le matériel devient cher, plus les rendements suivent une courbe de décroissance asymptotique. Une étude posturale fait passer le CdA de ~0,320 → ~0,240 pour $300 ; un cockpit ultra-premium n'atteindra peut-être que 0,222 → 0,220 pour $2,500. Le cap gonfle les trois métriques de coût — CWPS, CWPP et CWPM — près du plafond : c'est une propriété de toute la pile coût-efficacité, pas d'une seule métrique.

7. Trois régimes de résistance

La résistance à vélo se découpe en trois régimes physiquement distincts. L'ancien cadrage « linéaire vs Reynolds » regroupait roulement et transmission — mais ils varient différemment avec la vitesse, donc un coureur plus puissant obtient une part différente du bénéfice de chacun.

Métrique	Aéro (Reynolds)	Roulement	Transmission (statique)
Échelle de force	$F \propto v^2$	$F \approx$ constante	$F \propto v^{-1}$
Échelle de puissance	$P \propto v^3$	$P \propto v^1$	$P \approx$ constante
Watts économisés par l'upgrade	Varie en $v^3$	Varie en $v$	Constants
Bénéfice temps vs puissance	≈ plat ($P^{0}$)	$P^{-2/3}$	$P^{-1}$
Exposant κ	+0.15 / +0.35 (empirique)	aucun — la physique le fournit	aucun — la physique le fournit
Exemples d'upgrades	Casques, roues, position	Pneus, chambres	Cire de chaîne, roulements

Pourquoi le roulement est ≈ $P^{-2/3}$ et la transmission ≈ $P^{-1}$

Comme les watts économisés sont calculés à la vitesse d'équilibre du coureur $v^*$, l'échelle en puissance de chaque régime découle de la physique — aucun exposant réglé à la main. Dans la limite dominée par la traînée $v^* \propto P^{1/3}$ et le multiplicateur $ 60/(3P_{\text{aero}}+P_{\text{roll}}) \to 20/P $, donc :

\[ \text{Rolling:}\quad \Delta P_{\text{roll}} = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* \propto P^{1/3} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-2/3} \]

\[ \text{Drivetrain:}\quad \Delta P_{\text{dt}} = \text{const} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-1} \]

La résolution complète conserve les termes $ C_{\text{rr}} $ et $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $, donc ces exposants sont approximatifs — les courbes réelles s'écartent de quelques pour-cent des puissances propres ci-dessus, dans la direction que dicte la physique plutôt qu'une constante réglée.

Cela rejoint l'intuition connue : la cire de chaîne compte surtout pour les coureurs moins puissants, car une économie de 4 W est une plus grande fraction de leur puissance totale. L'aéro est le cas opposé — ses watts économisés montent en $v^3$, annulant à peu près le $1/P$ de l'identité pour laisser un bénéfice plat en puissance, sur lequel les bonus empiriques +0.15 / +0.35 récompensent les petits gains de second ordre (changements de position, sensibilité au Reynolds) que les coureurs rapides débloquent.

8. Pacing de parcours — le modèle stationnaire & l'optimiseur

Le simulateur de pacing planifie un vrai parcours vélo, segment par segment, et optimise le temps de course total plutôt que le segment vélo. Il repose sur le même bilan de puissance que le reste de cette page, évalué localement sur chaque ~50 m du tracé.

État stationnaire par segment

Pour chaque segment à pente $\theta = \arctan(\text{grade})$, puissance et vitesse satisfont :

\[ \eta\,P = m g\,(C_{\text{rr}}\cos\theta + \sin\theta)\,v + \tfrac12 \rho\, CdA\, v^3 \]

À puissance donnée, la cubique est résolue pour $v$ (méthode de Newton) ; inversée, elle donne la puissance pour tenir une vitesse cible. La somme de $d_i / v_i$ sur tous les segments donne le temps du segment vélo. C'est le modèle de puissance classique du cyclisme sur route (Martin et al. 1998).

Pourquoi le pacing variable gagne

À puissance moyenne fixée, le temps est minimisé en dépensant les watts là où ils achètent le plus de vitesse — montées et vents de face — et en relâchant là où ils achètent le moins — descentes et vents arrière (Swain 1997). Formellement nous minimisons le temps total à puissance moyenne pondérée par le temps fixée via un multiplicateur de Lagrange $\mu$ ; chaque segment choisit indépendamment la puissance qui minimise un coût par segment, mis en cache par pente :

\[ \min_{P_i \in [P_{\text{floor}},\, P_{\text{ceil}}]} \sum_i \frac{d_i}{v_i(P_i,\theta_i)} \quad\text{s.t.}\quad \overline{P} = \text{const} \;\Longrightarrow\; \min_{P}\ \frac{1 + \mu P}{v(P,\theta)} \]

À retenir : placer le multiplicateur sur l'énergie ($1+\mu P$) garde l'objectif unimodal, si bien qu'une recherche ternaire stable trouve la puissance optimale de chaque segment. Le panneau « puissance variable vs constante » du simulateur est exactement cette économie — ce que le pacing intelligent rapporte à effort égal.

9. Métriques de puissance — NP, IF, VI

Le planificateur rapporte les trois métriques standard des capteurs de puissance (Allen & Coggan 2019) :

\[ \text{NP} = \left( \overline{ \big(\overline{P}_{30\text{s}}\big)^{4} } \right)^{1/4} \qquad \text{IF} = \frac{\text{NP}}{\text{FTP}} \qquad \text{VI} = \frac{\text{NP}}{\overline{P}} \]

NP (Normalized Power) — la moyenne à la puissance 4 de la puissance moyenne glissante sur 30 s. Elle pondère les à-coups, approchant le coût physiologique d'une sortie variable mieux qu'une simple moyenne.
IF (Intensity Factor) — NP relative à votre puissance sur une heure. Les segments vélo d'Ironman vivent dans la bande 0,68–0,78 ; pousser plus haut échange des minutes vélo contre une course à pied plus lente.
VI (Variability Index) — à quel point la sortie est en à-coups. 1,00 est parfaitement régulier ; le planificateur le plafonne (≈1,05) pour que la sortie ne détruise pas les jambes.

Votre statut : à FTP 310 W, une NP d'Ironman à IF 0,72 serait ≈ 223 W.

10. Durabilité — Critical Power & la réserve W′

Tenir une moyenne n'est pas toute l'histoire : des à-coups répétés au-dessus d'un plafond soutenable épuisent une réserve anaérobie finie, et une fois vide vous êtes forcé de relâcher (ou vous craquez sur la course à pied). Le simulateur modélise cela avec le cadre de la puissance critique (Monod & Scherrer 1965; Jones et al. 2010) : une puissance soutenable $\text{CP}$ (nous prenons $\text{CP} \approx 0.95\,\text{FTP}$) plus une réserve de travail $W′$ (J) disponible au-dessus.

Le modèle W′-balance

La réserve s'épuise au-dessus de CP et se reconstitue en dessous (Skiba et al. 2012) :

\[ \frac{dW'\!_{\text{bal}}}{dt} = \begin{cases} -(P - \text{CP}) & P > \text{CP} \\[4pt] \big(W'\!_{\max} - W'\!_{\text{bal}}\big)\big(1 - e^{-\Delta t/\tau}\big) & P \le \text{CP} \end{cases} \]

avec une constante de temps de récupération $\tau \approx 300\,\text{s}$. Intégré sur le plan, cela donne la réserve la plus basse atteinte (la statistique réserve W′). Le planificateur applique ensuite un plafond de durabilité : tout à-coup qui pousserait $W′\!_{\text{bal}}$ sous zéro est rogné au maximum que la réserve restante peut financer — surcuire l'objectif se traduit donc par une NP atteignable inférieure à ce que vous demandiez, pas par un plan fantaisiste.

Votre statut : Critical Power ≈ 295 W ($0.95 \times$ 310 W) ; réservoir par défaut $W′$ = 20 kJ. Les à-coups au-dessus de 295 W le vident ; rouler tranquille le remplit.

11. L'objectif — temps de course total

Parce que le vélo prépare le marathon, le planificateur note natation + vélo + course + transitions. Un temps de course à pied de référence (issu de votre vitesse de course sur plat) est dégradé par quatre facteurs de sur-vélo, chacun ajoutant un pourcentage au temps de marathon :

\[ t_{\text{run}} = t_{\text{run,base}} \times \big(1 + \min(0.6,\; p_{\text{IF}} + p_{\text{VI}} + p_{W'} + p_{\text{fuel}})\big) \]

Intensité — convexe au-dessus d'un genou durable : $p_{\text{IF}} = 9\,(\text{IF} - 0.72)^2$ pour $\text{IF} > 0.72$.
À-coups — un coût doux pour VI au-dessus de ≈1,08.
Durabilité — puiser profondément dans $W′$ (ou le crever) coûte progressivement.
Carburant — convexe dans le déficit de glycogène face à un stock utilisable de ~450 g.

Ravitaillement

La combustion de glucides découle du travail mécanique et de l'intensité (efficacité brute ≈ 0,24 ; fraction glucidique croissante avec l'IF), pesée contre votre apport horaire. L'intestin absorbe environ 90 g/h de mélange glucose+fructose (Jeukendrup 2014), donc un déficit soutenu annonce une défaillance en fin de course.

Ces coefficients sont des ancrages raisonnés, pas ajustés sur des données — la forme (convexe, à genou, plafonnée) est délibérée, mais chaque sortie est une estimation de planification. Les citations complètes se trouvent sur la page du simulateur de pacing.