La fisica dei guadagni marginali

Definizioni e derivazioni dietro il modello CdA / CWPS / CWPP / CWPM / Caps.

0. Il ciclista BASE — il riferimento di ogni cifra di "risparmio"

Ogni risparmio in questa app è un delta rispetto a un atleta di riferimento con attrezzatura di serie, non aerodinamica. Ogni articolo memorizza una primitiva fisica — gli articoli bici portano una riduzione dell'area di resistenza ΔCdA (m²), una riduzione della resistenza al rotolamento ΔCrr o un risparmio costante di trasmissione ΔWatts; gli articoli nuoto e corsa portano un guadagno frazionario di velocità Δtime%. CWPS, CWPP e CWPM sono tutti derivati a valle da quelle primitive.

La configurazione di attrezzatura di riferimento

Bici: bici da corsa di serie, telaio a tubi tondi, senza appendici aero. CdA ≈ 0,32 m² in posizione rilassata sulle leve.
Copertoni e camere: copertoncini da allenamento di serie + camere d'aria in butile. C_rr ≈ 0,005 ciascuno.
Trasmissione: catena ingrassata di fabbrica, pulegge del cambio di serie, cuscinetti del movimento centrale in acciaio sigillati (~6 W di perdita a 250 W).
Casco e abbigliamento: casco da strada standard, maglia da club + salopette (niente body aero).
Nuoto: jammer / costume da gara standard, senza muta né swimskin.
Corsa: una scarpa da allenamento neutra a stack medio (~250 g, senza piastra in carbonio).

L'atleta di riferimento

Il modello usa due punti di potenza di riferimento, calibrati in modo indipendente:

Riferimento di durata gara (150 W): fissa T_base tramite $ T_{\text{base}} = 6.33 \times (150/P)^{1/3} \times (D/180) $. Un ciclista da 150 W copre 180 km in 6,33 h (≈ 28,4 km/h di media), il benchmark de facto dell'amatore di endurance.
Riferimento di scala degli upgrade (225 W): il punto in cui il boost aero empirico κ vale 1,0. Un ciclista da 300 W su un articolo direct-aero ottiene $ (300/225)^{0.15} \approx 1.045\times $ quel boost — circa il 4,5% in più.
Riferimento nuoto (1,05 m/s ≈ 1:35/100m): κ = 1,0; i nuotatori più veloci scalano come $ (v/1.05)^{0.4} $.
Riferimento corsa (3,33 m/s ≈ 5:00/km): κ = 1,0; i corridori più veloci scalano come $ (v/3.33)^{0.25} $.

Parametri di riferimento

Tutte le costanti vivono in un unico posto (REF in math.js) e diverse si derivano l'una dall'altra:

$ \rho = 1.204\ \text{kg/m}^3 $ (aria), $ g = 9.81\ \text{m/s}^2 $, massa del sistema $ m = 80\ \text{kg} $.
$ p_{\text{ref}} = 225\ \text{W} $ (ancora empirica di κ), $ p_{\text{base}} = 150\ \text{W} $ (ancora di T_base), $ CdA_{\text{base}} = 0.32 $, $ C_{\text{rr,base}} = 0.005 $, $ \mathcal{L}_{\text{dt}} = 6\ \text{W} $.
Derivato: $ v_{\text{ref}} $ risolve il bilancio di potenza completo $ P = \tfrac12\rho\,CdA\,v^3 + C_{\text{rr}} m g v + \mathcal{L}_{\text{dt}} $ a $ p_{\text{ref}} $ — $ \approx 9.79\ \text{m/s} \approx 35.2\ \text{km/h} $ (soluzione numerica di Newton, non l'inversione con la sola resistenza aerodinamica).
Velocità di riferimento nuoto/corsa: $ v_{\text{swim,ref}} = 1.05\ \text{m/s} $, $ v_{\text{run,ref}} = 3.33\ \text{m/s} $.

225 W è una convenzione empirica, non una costante fisica — è una potenza tipica di un triatleta age-group serio, ben sopra l'ancora T_base da 150 W. E $ v_{\text{ref}} $ è solo un default: i numeri CWPS/CWPM in tempo reale risolvono la tua velocità di equilibrio e lì valutano i watt risparmiati di ogni regime — un unico punto di lavoro autoconsistente, senza riferimenti fissi né miscele di due velocità.

Come nasce una cifra di "tempo risparmiato"

Risolvi il bilancio di potenza per la tua velocità di equilibrio in piano $ v^* $ alla tua potenza $ P $ (numerico).
Bici: calcola i watt risparmiati a $ v^* $ — $ \Delta P = \tfrac12\rho {v^*}^3\,\Delta CdA $ (aero), $ \Delta Crr\, m g v^* $ (rotolamento) o un $ \Delta W $ costante (trasmissione) — poi convertili con il moltiplicatore consapevole delle componenti dalla stessa soluzione, $ \Delta M_{\text{hr}} = 60\,\Delta P / (3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}) $ ($ \approx 23\,\Delta P/P $ a 225 W). Nuoto/corsa: $ \Delta M_{\text{hr}} = 60 \times \Delta\text{time\%} $.
Moltiplica per il boost empirico della curva κ(profile) (solo aero/reynolds/swim/run).
Moltiplica per la durata base della frazione: $ \Delta t = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa \times T_{\text{base}} $.

Ricalibrazione con attrezzatura posseduta

Contrassegnare attrezzatura bici come posseduta riprezza tutto il resto su due livelli:

Punto di lavoro. L'attrezzatura aero posseduta abbassa il tuo $CdA$, copertoni/camere posseduti abbassano $C_{\text{rr}}$, i componenti di trasmissione posseduti abbassano $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $. Il bilancio di potenza completo viene risolto di nuovo per una nuova velocità di equilibrio $v^*$, e ogni upgrade bici rimanente — raggruppato o meno — vede watt risparmiati e CWPS/CWPM ricalcolati a quella velocità. I ciclisti più veloci che possiedono già attrezzatura aero vedono gli articoli aero rimanenti convertire un po' meglio e quelli di trasmissione un po' peggio.
Gruppi mutuamente esclusivi. L'attrezzatura che esiste a livelli — telai da crono, tipi di camera d'aria, mute da gara — forma un gruppo. Se ne possiedi uno, i suoi compagni di gruppo si ricalibrano inoltre sui minuti per ora marginali rispetto a ciò che possiedi (valutati allo stesso $v^*$), non sull'intero divario dal materiale di serie. Contrassegnare come posseduto un nuovo membro del gruppo sostituisce il precedente.

Cosa significa in pratica: l'interruttore "Segna come posseduto" fa mostrare al catalogo rimanente quanto ogni upgrade vale per te, sull'attrezzatura che già usi — la tua vera configurazione attuale — invece che rispetto al nudo ciclista BASE. CWPS ne fa parte: non è più una base fissa ma si muove con il tuo setup posseduto.

1. Profilo di velocità base (la curva cubica)

La durata della gara segue una curva normalizzata di decadimento non lineare dell'endurance:

\[ T_{\text{base}} = 6.33 \times \left(\frac{150}{P_{\text{athlete}}}\right)^{\frac{1}{3}} \times \left(\frac{D_{\text{target}}}{180}\right) \]

$P_{\text{athlete}}$ — potenza bici obiettivo sostenuta (watt).
$D_{\text{target}}$ — distanza di gara obiettivo (km).

Il tuo stato: a 225W su 180km, la tua frazione base è ≈ 5.53 h.

2. CdA — coefficiente di resistenza aerodinamica

Il CdA combina il coefficiente di resistenza $C_d$ (forma / separazione del flusso) e l'area frontale $A$ (m$^2$). Un CdA più basso significa che servono meno watt per tenere una data velocità.

Forza di resistenza

\[ F_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^2 \, CdA \]

Potenza necessaria per vincere la resistenza dell'aria

\[ P_d = \tfrac{1}{2} \, \rho \, v^3 \, CdA \]

$\rho$ — densità dell'aria (≈ $1.204\ \text{kg/m}^3$ a livello del mare, 20°C).
$v$ — velocità relativa al vento ($\text{m/s}$).

In sintesi: raddoppiare la velocità richiede ~8× la potenza, a meno che tu non riduca il CdA.

Ricavare il tuo CdA

La cubica riordinata per lo scenario di sola resistenza aerodinamica:

\[ CdA \approx \frac{2 \, P}{\rho \, v^3} \]

Il tuo stato: a 225W con una media di ≈ 32.6 km/h su 180km, il tuo CdA implicito ≈ 0.506 m² (approssimazione dominata dalla resistenza).

3. CWPS — costo per watt risparmiato

CWPS è la metrica di classifica per la bici: dollari per watt di resistenza rimosso. Poiché i watt risparmiati dipendono dalla velocità, vengono valutati alla tua velocità di equilibrio in piano $v^*$ — la velocità che la tua potenza produce contro l'intero budget di resistenza (aero + rotolamento + trasmissione), risolta numericamente — non un riferimento fisso né un'idealizzazione con la sola resistenza aerodinamica.

\[ \text{CWPS} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\tfrac{1}{2}\,\rho\, {v^*}^3\, \Delta CdA} \]

Per gli articoli di rotolamento $ \Delta P = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* $; per gli articoli di trasmissione i watt sono una costante. CWPS esiste solo per l'attrezzatura bici — nuoto e corsa non portano watt propulsivi misurabili.

Il tuo stato: a 225W la tua velocità di equilibrio è ≈ 35.2 km/h, quindi ogni 0,01 m² di CdA che rimuovi vale ≈ 5.6 W. Un telaio da $400 che risparmiasse tanto costerebbe ≈ $71/W.

4. CWPP — costo per punto percentuale di guadagno di velocità

CWPP è il fratello nuoto/corsa di CWPS. I produttori dichiarano l'attrezzatura da nuoto e corsa come guadagni frazionari di velocità o efficienza, non in watt — non esiste una potenza propulsiva misurabile per una muta o una scarpa da corsa — quindi la metrica di classifica indipendente dalla gara è il dollaro per punto percentuale di guadagno di velocità.

\[ \text{CWPP} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{\Delta\text{time\%} \times 100} \qquad [\$/\%] \]

Come leggerlo — più basso è meglio

Muta: $500 al 4% → CWPP = $125/%
Swimskin: $250 all'1,5% → CWPP = $166.67/%
Scarpa da gara con piastra in carbonio: $280 al 2,5% → CWPP = $112/%

CWPS ($/W) e CWPP ($/%) vivono in unità diverse e non sono direttamente confrontabili tra discipline. Entrambi alimentano il CWPM (minuti risparmiati in una data gara), che è confrontabile tra nuoto, bici e corsa.

5. CWPM — costo per minuto risparmiato

CWPM è la metrica più azionabile e l'ordinamento predefinito della dashboard: dollari per minuto tolto alla tua frazione di gara. Dipende dal profilo e dalla distanza.

Passo 1 — minuti risparmiati per ora al tuo punto di lavoro

\[ \Delta M_{\text{hr}} = \frac{60\,\Delta P}{3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}}}\ \text{(bike)} \quad\text{or}\quad 60 \times \Delta\text{time\%}\ \text{(swim/run)} \]

Il denominatore bici è $ dP/dv \cdot v^* = 3 P_{\text{aero}} + P_{\text{roll}} $ dallo stesso bilancio di potenza — trasforma i watt risparmiati nella frazione di tempo della frazione che sparisce. All'ancora di 225 W risulta $ \approx 23\,\Delta P / P $, sostituendo la vecchia costante da sola resistenza aerodinamica di 20.

Il tuo stato: a 225W il tuo moltiplicatore effettivo è ≈ 23.3 · ΔP/P min/h.

Passo 2 — tempo totale risparmiato sulla frazione

\[ M_{\text{saved}} = \Delta M_{\text{hr}} \times \kappa(\text{profile}) \times T_{\text{base}} \]

Direct aero: boost empirico $\kappa = (P/225)^{0.15}$.
Reynolds (ruote a profilo alto, caschi, body aero): $\kappa = (P/225)^{0.35}$.
Rotolamento / trasmissione: nessun $\kappa$ — la scala con la potenza vive già in $\Delta P$ (vedi §7).

Passo 3 — la formula CWPM

\[ \text{CWPM} = \frac{\text{Cost}\ (\$)}{M_{\text{saved}}\ (\text{min})} \]

6. Caps — bilancio di potenza e guadagni marginali decrescenti

Un "Cap" è il tetto dell'ottimizzazione aero pratica: l'anatomia umana ha bisogno di un ingombro strutturale minimo per produrre potenza, quindi il CdA non può scendere all'infinito senza far collassare l'angolo dell'anca.

Equilibrio del bilancio di potenza

\[ P_{\text{total}} = P_{\text{aero}} + P_{\text{rolling}} + P_{\text{gravity}} + P_{\text{drivetrain}} \]

\[ P_{\text{total}} = \left(\tfrac{1}{2} \rho v^3 \, CdA\right) + \left(C_{\text{rr}} \, m \, g \, v\right) + \left(m \, g \, v \, \sin\theta\right) + \mathcal{L}_{\text{dt}} \]

$C_{\text{rr}}$ — coefficiente di resistenza al rotolamento.
$m$ — massa totale del sistema (ciclista + bici, kg).
$g$ — accelerazione gravitazionale ($9.81\ \text{m/s}^2$).
$\sin\theta$ — pendenza della strada.
$\mathcal{L}_{\text{dt}}$ — perdita di potenza della trasmissione.

Man mano che investi in attrezzatura più costosa, i ritorni seguono una curva di decadimento asintotica. Un bike fit porta il CdA da ~0,320 → ~0,240 per $300; un cockpit ultra-premium magari arriva solo da 0,222 → 0,220 per $2,500. Il cap gonfia tutte e tre le metriche di costo — CWPS, CWPP e CWPM — vicino al tetto: è una proprietà dell'intero stack di costo-efficienza, non di una singola metrica.

7. Tre regimi di resistenza

La resistenza in bici si divide in tre regimi fisicamente distinti. Il vecchio schema "lineare vs Reynolds" accorpava rotolamento e trasmissione — ma scalano con la velocità in modo diverso, quindi un ciclista più forte ottiene una quota diversa del beneficio da ciascuno.

Metrica	Aero (Reynolds)	Rotolamento	Trasmissione (statica)
Scala della forza	$F \propto v^2$	$F \approx$ costante	$F \propto v^{-1}$
Scala della potenza	$P \propto v^3$	$P \propto v^1$	$P \approx$ costante
Watt risparmiati dall'upgrade	Scala con $v^3$	Scala con $v$	Costante
Beneficio in tempo vs potenza	≈ piatto ($P^{0}$)	$P^{-2/3}$	$P^{-1}$
Esponente κ	+0.15 / +0.35 (empirico)	nessuno — lo fornisce la fisica	nessuno — lo fornisce la fisica
Upgrade di esempio	Caschi, ruote, posizione	Copertoni, camere	Cera per catena, cuscinetti

Perché il rotolamento è ≈ $P^{-2/3}$ e la trasmissione ≈ $P^{-1}$

Poiché i watt risparmiati sono calcolati alla velocità di equilibrio del ciclista $v^*$, la scala con la potenza di ogni regime emerge dalla fisica — nessun esponente regolato a mano. Nel limite dominato dalla resistenza aerodinamica $v^* \propto P^{1/3}$ e il moltiplicatore $ 60/(3P_{\text{aero}}+P_{\text{roll}}) \to 20/P $, quindi:

\[ \text{Rolling:}\quad \Delta P_{\text{roll}} = \Delta C_{\text{rr}}\, m g v^* \propto P^{1/3} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-2/3} \]

\[ \text{Drivetrain:}\quad \Delta P_{\text{dt}} = \text{const} \;\Rightarrow\; \Delta M_{\text{hr}} \propto P^{-1} \]

La soluzione completa conserva i termini $ C_{\text{rr}} $ e $ \mathcal{L}_{\text{dt}} $, quindi questi esponenti sono approssimati — le curve reali si scostano di qualche punto percentuale dalle potenze pulite qui sopra, nella direzione dettata dalla fisica invece che da una costante regolata.

Questo combacia con l'intuizione nota: la cera per catena conta di più per i ciclisti meno potenti, perché un risparmio di 4 W è una frazione maggiore della loro potenza totale. L'aero è il caso opposto — i suoi watt risparmiati crescono con $v^3$, cancellando all'incirca l'$1/P$ nell'identità e lasciando un beneficio piatto rispetto alla potenza, sopra il quale i boost empirici +0.15 / +0.35 premiano i piccoli guadagni di secondo ordine (cambi di posizione, sensibilità al Reynolds) che i ciclisti più veloci sbloccano.

8. Pacing del percorso — il modello stazionario e l'ottimizzatore

Il simulatore di pacing pianifica un percorso bici reale, segmento per segmento, e ottimizza il tempo totale di gara anziché la frazione bici. Si basa sullo stesso bilancio di potenza del resto di questa pagina, valutato localmente su ogni ~50 m del tracciato.

Stato stazionario per segmento

Per ogni segmento con pendenza $\theta = \arctan(\text{grade})$, potenza e velocità soddisfano:

\[ \eta\,P = m g\,(C_{\text{rr}}\cos\theta + \sin\theta)\,v + \tfrac12 \rho\, CdA\, v^3 \]

Data la tua potenza, la cubica viene risolta per $v$ (metodo di Newton); invertita, dà la potenza per tenere una velocità obiettivo. Sommare $d_i / v_i$ su tutti i segmenti dà il tempo della frazione. È il classico modello di potenza del ciclismo su strada (Martin et al. 1998).

Perché il pacing variabile vince

A potenza media fissa, il tempo si minimizza spendendo i watt dove comprano più velocità — salite e vento contrario — e alleggerendo dove comprano meno — discese e vento a favore (Swain 1997). Formalmente minimizziamo il tempo totale a potenza media pesata sul tempo fissata tramite un moltiplicatore di Lagrange $\mu$; ogni segmento sceglie indipendentemente la potenza che minimizza un costo per segmento, messo in cache per pendenza:

\[ \min_{P_i \in [P_{\text{floor}},\, P_{\text{ceil}}]} \sum_i \frac{d_i}{v_i(P_i,\theta_i)} \quad\text{s.t.}\quad \overline{P} = \text{const} \;\Longrightarrow\; \min_{P}\ \frac{1 + \mu P}{v(P,\theta)} \]

In sintesi: mettere il moltiplicatore sull'energia ($1+\mu P$) mantiene l'obiettivo unimodale, così una ricerca ternaria stabile trova la potenza ottimale di ogni segmento. Il pannello "potenza variabile vs costante" del simulatore è esattamente questo risparmio — ciò che un pacing intelligente compra a parità di sforzo.

9. Metriche di potenza — NP, IF, VI

Il pianificatore riporta le tre metriche standard del misuratore di potenza (Allen & Coggan 2019):

\[ \text{NP} = \left( \overline{ \big(\overline{P}_{30\text{s}}\big)^{4} } \right)^{1/4} \qquad \text{IF} = \frac{\text{NP}}{\text{FTP}} \qquad \text{VI} = \frac{\text{NP}}{\overline{P}} \]

NP (Normalized Power) — la media alla quarta potenza della potenza media mobile su 30 s. Pesa gli scatti, approssimando il costo fisiologico di un'uscita variabile meglio di una semplice media.
IF (Intensity Factor) — NP relativa alla tua potenza sull'ora. Le frazioni bici Ironman vivono nella fascia 0,68–0,78; spingere di più scambia minuti in bici con una corsa più lenta.
VI (Variability Index) — quanto è discontinua l'uscita. 1,00 è perfettamente uniforme; il pianificatore lo limita (≈1,05) perché l'uscita non distrugga le gambe.

Il tuo stato: con FTP 310 W, una NP da Ironman a IF 0,72 sarebbe ≈ 223 W.

10. Durabilità — Critical Power e la riserva W′

Tenere una media non è tutta la storia: scatti ripetuti sopra un tetto sostenibile svuotano una riserva anaerobica finita, e una volta vuota sei costretto a mollare (o ti spezzi nella corsa). Il simulatore lo modella con il framework della critical power (Monod & Scherrer 1965; Jones et al. 2010): una potenza sostenibile $\text{CP}$ (prendiamo $\text{CP} \approx 0.95\,\text{FTP}$) più una riserva di lavoro $W′$ (J) disponibile sopra di essa.

Il modello W′-balance

La riserva si esaurisce sopra CP e si ricostituisce sotto (Skiba et al. 2012):

\[ \frac{dW'\!_{\text{bal}}}{dt} = \begin{cases} -(P - \text{CP}) & P > \text{CP} \\[4pt] \big(W'\!_{\max} - W'\!_{\text{bal}}\big)\big(1 - e^{-\Delta t/\tau}\big) & P \le \text{CP} \end{cases} \]

con costante di tempo di recupero $\tau \approx 300\,\text{s}$. Integrato sul piano, questo dà la riserva più bassa raggiunta (la statistica riserva W′). Il pianificatore applica poi un tetto di durabilità: ogni scatto che porterebbe $W′\!_{\text{bal}}$ sotto zero viene ridotto al massimo che la riserva rimanente può finanziare — esagerare con l'obiettivo si manifesta come una NP raggiungibile inferiore a quella richiesta, non come un piano di fantasia.

Il tuo stato: Critical Power ≈ 295 W ($0.95 \times$ 310 W); serbatoio predefinito $W′$ = 20 kJ. Gli scatti sopra 295 W lo svuotano; pedalare tranquillo lo riempie.

11. L'obiettivo — tempo totale di gara

Poiché la bici è la preparazione alla maratona, il pianificatore valuta nuoto + bici + corsa + transizioni. Un tempo di corsa base (dalla tua velocità di corsa in piano) viene degradato da quattro fattori di over-biking, ciascuno dei quali aggiunge una percentuale al tempo di maratona:

\[ t_{\text{run}} = t_{\text{run,base}} \times \big(1 + \min(0.6,\; p_{\text{IF}} + p_{\text{VI}} + p_{W'} + p_{\text{fuel}})\big) \]

Intensità — convessa sopra un ginocchio sostenibile: $p_{\text{IF}} = 9\,(\text{IF} - 0.72)^2$ per $\text{IF} > 0.72$.
Discontinuità — un costo lieve per VI sopra ≈1,08.
Durabilità — attingere a fondo a $W′$ (o sfondarla) costa progressivamente.
Carburante — convesso nel deficit di glicogeno rispetto a una scorta utilizzabile di ~450 g.

Alimentazione

Il consumo di carboidrati deriva dal lavoro meccanico e dall'intensità (efficienza lorda ≈ 0,24; frazione di carboidrati crescente con l'IF), soppesato con la tua assunzione oraria. L'intestino assorbe circa 90 g/h di miscela glucosio+fruttosio (Jeukendrup 2014), quindi un deficit prolungato preannuncia un calo a fine gara.

Questi coefficienti sono ancore ragionate, non adattate ai dati — la forma (convessa, con ginocchio, limitata) è voluta, ma ogni output è una stima di pianificazione. Le citazioni complete stanno sulla pagina del simulatore di pacing.